नेमार के साथ, पाणिनी ने अद्यतन विश्व कप स्टिकर पैक लॉन्च किया: एल्बम को पूरा करने की संभावनाओं के बारे में गणित क्या कहता है

2026 विश्व कप स्टिकर गेटी इमेजेज़/बीबीसी के माध्यम से आधिकारिक 2026 विश्व कप एल्बम के संग्राहकों को इस सप्ताह कुछ नया मिला। पाणिनि ने एल्बम की प्रारंभिक रिलीज के बाद बुलाए गए खिलाड़ियों के साथ संग्रह को अद्यतन करने के लिए 120 नए स्टिकर के साथ एक पूरक पैक के लिए पूर्व-बिक्री शुरू कर दी है। अपडेट सेट कहे जाने वाले इस किट में वे एथलीट शामिल हैं जो मूल संस्करण से बाहर रह गए थे, लेकिन विश्व कप में प्रतिस्पर्धा करने वाली टीमों की अंतिम सूची में उनकी पुष्टि की गई। इस संग्रह में शामिल होने वाले नामों में ब्राज़ीलियाई राष्ट्रीय टीम के नेमार, जर्मन गोलकीपर मैनुएल नेउर और स्पेनिश डिफेंडर पाउ ​​क्यूबारसी शामिल हैं। यह अपडेट प्रशंसकों के बीच काफी उत्साह के समय आया है। आख़िरकार, 2026 विश्व कप एल्बम पहले से ही विश्व कप के इतिहास में सबसे बड़ा है, जिसमें 980 स्टिकर हैं - एक संख्या जो अब पूरक पैकेज के साथ और भी बढ़ जाती है। लेकिन व्यवहार में, इस आकार के संग्रह को पूरा करने में कितना खर्च आता है? और इसे हासिल करने की सबसे अच्छी रणनीति क्या है? गणित उत्तर देने में मदद करता है। पहली नज़र में, पूरे उत्साह को समझना मुश्किल हो सकता है। आख़िरकार, वे सिर्फ स्टिकर हैं। लेकिन दशकों से, बच्चे - और कई वयस्क भी - दुनिया के सर्वश्रेष्ठ फुटबॉल खिलाड़ियों की तस्वीरें खरीद रहे हैं, व्यापार कर रहे हैं और उनका संग्रह कर रहे हैं। मुझे 1990 के दशक में एक बच्चे के रूप में उस उत्साह की याद है, जब मैं अपने दोस्त के बार-बार दोहराए जाने वाले स्टिकर के ढेर के बीच से गुज़रता था, इस उम्मीद में कि मेरे एल्बम को पूरा करने के लिए जो कुछ गायब था, उनमें से एक मिल जाए। शब्द "है, है, है, कमी है!" स्कूल प्रांगण में गूँज उठा। उनके आसपास के उत्साह की तुलना पोकेमॉन कार्ड या अन्य फुटबॉल चैंपियनशिप के कार्ड इकट्ठा करने से की जा सकती है। साथ ही उन स्टिकर के कारण होने वाली निराशा भी जो बार-बार दिखाई देते हैं। उनमें से कुछ - विशेष रूप से प्रसिद्ध खिलाड़ियों के सबसे दुर्लभ - इतने वांछनीय हो जाते हैं कि वे प्रभावशाली रकम पर बिकते हैं। 2021 में, अर्जेंटीना के दिग्गज डिएगो माराडोना की 1979 की मूर्ति नीलामी में £413,000 (लगभग R$2.8 मिलियन) में बेची गई थी। और, 2026 विश्व कप की पूर्व संध्या पर, मांग मजबूत बनी हुई है। हाल ही में, आधिकारिक विश्व कप एल्बम के 8,000 से अधिक संग्रहकर्ता चिली के सैंटियागो में एक विशाल विनिमय बैठक में एकत्र हुए। लक्ष्य? एल्बम के पन्नों को विश्व कप में प्रतिस्पर्धा करने वाली सभी टीमों के खिलाड़ियों से भरें। और, चूंकि यह अब तक जारी किया गया सबसे बड़ा संस्करण है, इसलिए चुनौती काफी बड़ी है। तो विश्व कप एल्बम को पूरा करने में वास्तव में क्या लगता है? सौभाग्य से, गणित हमें इसका पता लगाने में मदद कर सकता है। बहुत कुछ अपनाई गई रणनीति पर निर्भर करता है। सब कुछ खरीदने की रणनीति 2026 विश्व कप के आधिकारिक एल्बम में स्टिकर के लिए 980 स्थान हैं। -तुलनात्मक उद्देश्यों के लिए, मेक्सिको में 1970 विश्व कप में केवल 270 स्टिकर थे, और कतर में 2022 विश्व कप में 670 स्टिकर थे। ब्राज़ील में, जहाँ लॉन्च 1 मई को हुआ था, सात स्टिकर वाले पैकेज की कीमत R$7 है। साधारण कवर संस्करण में एल्बम की कीमत R$24.90 या हार्डकवर संस्करण में R$74.90 है। अपडेट सेट की कीमत अतिरिक्त R$119 है - पैकेज में वे सभी खिलाड़ी शामिल हैं जो पहले संस्करण में छूट गए थे (इस प्रकार, स्टिकर दोहराए जाने की कोई संभावना नहीं है)। बाकी एल्बम के लिए, यदि पाया गया प्रत्येक स्टिकर नया था, बिना किसी दोहराव के, तो एल्बम को पूरा करने का न्यूनतम खर्च R$1,004.90 होगा - स्टिकर और साधारण एल्बम में R$980 को ध्यान में रखते हुए। लेकिन व्यवहार में, एल्बम में प्रत्येक खाली जगह को भरने के लिए, संग्राहक कई बार दोहराए जाने वाले स्टिकर खरीदता है। अपना पहला स्टिकर प्राप्त करने के बाद, संभावना है कि अगला स्टिकर बचे हुए 979 स्टिकर में से एक होगा, 980 में से 979 है। इसका मतलब है कि, अगले स्थान को भरने के लिए, औसतन, आपको 980/979 स्टिकर खरीदने की आवश्यकता होगी - बस एक से अधिक। वही तर्क दोहराया जाता है: अगले स्थान के लिए औसतन 980/978 स्टिकर की आवश्यकता होगी; फिर, 980/977; और इसी तरह। चूंकि संग्रह की शुरुआत में अलग-अलग स्टिकर मिलने की संभावना बहुत अधिक होती है, इसलिए दोबारा स्टिकर दिखने में समय लगता है। लेकिन जैसे-जैसे एल्बम पूरा होने के करीब पहुंचता है, प्रत्येक शेष स्थान को भरने के लिए आवश्यक राशि नाटकीय रूप से बढ़ जाती है। उदाहरण के लिए, जब केवल 10 स्टिकर गायब होते हैं, तो खरीदे गए प्रत्येक नए स्टिकर के गायब स्टिकर में से एक होने की संभावना 1% से अधिक होती है। अंतिम स्टिकर प्राप्त करने के लिए, प्रत्येक नए स्टिकर के लिए इसे ढूंढने की संभावना 980 में केवल 2 है। इस स्थान को भरने के लिए औसतन 490 स्टिकर की आवश्यकता होगी। आखिरी वाला तो और भी बुरा है. जो स्टिकर गायब है उसे ढूंढने के लिए औसतन 980 स्टिकर प्राप्त करना आवश्यक होगा। अंतिम परिणाम प्रभावशाली है. औसतन, एक संग्रहकर्ता को अकेले 980 स्थानों वाले एल्बम को पूरा करने के लिए लगभग 7,316 स्टिकर प्राप्त करने की आवश्यकता होगी। नए स्टिकर, ब्राज़ील को शामिल करते हुए, पैनिनी द्वारा R$119.90 में बेचे गए स्टिकर पैक, सरल एल्बम और अपडेट सेट को ध्यान में रखते हुए, इसकी कुल लागत लगभग R$7,460.80 हो जाएगी। संख्याएँ "हार्मोनिक श्रृंखला" नामक एक प्रसिद्ध गणितीय वस्तु से उत्पन्न होती हैं। यह नाम संगीत में हार्मोनिक्स की अवधारणा से आया है। एक ही सूत्र ज्ञान के कई क्षेत्रों में दिखाई देता है क्योंकि यह किसी अज्ञात सेट का पूरी तरह से पता लगाने के लिए आवश्यक लागत या प्रयास से संबंधित है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग यह अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है कि उपभोक्ता प्राथमिकताओं की पूरी श्रृंखला को पकड़ने के लिए बाजार अनुसंधान में कितने लोगों का साक्षात्कार लेने की आवश्यकता है। पारिस्थितिकी में, यह वैज्ञानिकों को किसी दिए गए आवास में मौजूद प्रजातियों की संख्या का अनुमान लगाने में मदद करता है। *बीबीसी न्यूज ब्रासील संपादकीय टीम से जानकारी के साथ अन्य देशों की तुलना में ब्राज़ील में विश्व कप एल्बम को पूरा करने में कितना खर्च आता है? मेक्सिको ने एक अराजक खेल में दक्षिण अफ्रीका को हराया, जिसमें ब्राजीलियाई रेफरी ने तीन खिलाड़ियों को बाहर कर दिया 'सबसे महंगा और सबसे अधिक राजनीतिकरण' वाला विश्व कप: 2026 विश्व कप के बारे में 4 महत्वपूर्ण बिंदु